《林氏法》简介

王纪文

    代数多项式求根是一个重要问题。一、二次多项式的根能用解析式直接表示，早已成为中学代数课程中的要点。三、四次多项式的根也可用解析式表达，但十分冗长 不便应用，数字计算机普及后甚至被遗忘。高于四次的多项式，已被严格证明不可能精确求根，只能用近似法逐次逼近，更无从用解析式表达。

    我国已故著名学者林士谔教授，1939年获美麻省理工学院（MIT）博士学位，在其学位论文中首次提出劈因法逐步求解高次实系数多项式的根。上世纪四十年代又先后三次在MIT出版的学术期刊《数学物理》上正式发表论文阐述劈因法，每次均有改进，并被称为《林氏法》。

    此法的求根过程如下，对欲求根的实多项式估计二个根（二实根或一对共轭复根），形成一个实二次多项式，称之为（二次）因子，作为除式来除该多项式，必除不 尽，得一商式和余式，余式为实一次多项式，用它所含的二个实系数，按照林先生所提出的方法修正初设的因子，再除元多项式，得一新余式，完成一次叠代。关键 是，经林先生证明，新余式二个实系数的平方和（是一 正数），代表误差，必小于原余式的系数平方和，即误差减小。重复上述叠代过程，误差不断减小，就是具有收敛性。当误差足够小时，忽略余式，相应的除式{二 次因子}代表二个真根（二实或一对复共轭），就是劈出了一个二次因子（故称劈因法），所得的商式是降了二次的实多项式。对其重复上述劈的过程，就不断求得 根，不断降低商式的次数，直至最终完成。

    实系数多项式可能有复根，若有，必共轭成对。此法用二次因子去劈，完全不涉及复数运算，又不妨碍复根的求得，故而是其优点。此法虽收敛相对较快，但具体的收敛速度仍与初估值和真值的接近程度有关，越近就越快，故而此法使用者的经验也很重要。

    林先生当年本着独立创新的精神，艰苦钻研，提出了劈因法，值得我们学习、继承、并引以为荣。由于当时的学术交流远不如当今方便，有一些国家的学者，在林先 生的同时或之后，也独立提出了相近的方法，故而国外文献和教科书中提及林氏法时，有些会并列他人的姓氏，切勿理解为合作提出，而是分别独立提出。

    上世纪四、五十年代，只能以简单的工具（如手摇计算器），用人工的方式按照林氏法求解多项式的根，费时、费力，多项式次数和精度都受到限制。广泛应用数字 计算机后，输入多项式的系数，很快就能输出结果，上述缺陷不再存在，这是计算机程序包（如MATLAB）中的多项式求根程序显示的威力，而编制这种程序所 依据的原理正是林氏劈因法，充分表明了在当今计算机时代林氏法的巨大生命力。